İkinci Dereceden Denklemin Köklerini Formül İle Hesaplama

A=1

B=3

C=2

olsun. Bu durumda denklemimiz

1*X^2 + 3*X + 2 = 0

olur. Aslında sorunumuz şudur. X hangi değeri alırsa bu denklem sağlanmış olur? Bu işi formülsüz yapmaya çalışabilirsiniz. Kafadan tahmini bir sayı verirsiniz. Olmadıysa yeni bir sayı verirsiniz X değişkenine… Tabi tutturamazsanız bu böyle devam eder 🙂 Bunun yerine kainattaki herşeyin sistemli ve planlı olduğundan hareketle, bu işin de bir formülü vardır diyerek X’i bulmamızı sağlayan formülleri kullanabiliriz. Formül deyince korkmayın. Çok da zor değil. Öncelikle ∆ (delta) değerini hesaplamak gerekir.

∆ = B^2 – 4*A*C

formülünü denklemimiz için kullanırsak

∆ = 3^2 – 4*1*2 = 9 – 8 = 1

bulunur. Burada şu kontrolü yapmak çok önemlidir.

Eğer ∆ > 0 ise 2 kök vardır. Yani X yerine yerleştirdiğimizde denklemi sağlayan 2 değer vardır.

Eğer ∆ = 0 ise tek kök vardır. Yani X yerine yerleştirdiğimizde denklemi sağlayan tek değer vardır.

Eğer ∆ < 0 ise gerçek kök yoktur. Yani X yerine yerleştirdiğimizde denklemi sağlayan bir gerçek sayı yoktur. Karmaşık sayılar kümesinde (i’li sayılar) kök bulunur. Tabi bu bizim konumuz değil.

Bizim örneğimizde ∆ > 0 olduğundan 2 kök vardır. Bu iki kökü hesaplayalım. X1 birinci kök, X2 ikinci kök olacak şekilde

X1= (- B – karekök(∆)) / (2*A) = (-3 – karekök(1)) / (2*1) = -2

X2= (- B + karekök(∆)) / (2*A) = (-3 + karekök(1)) / (2*1) = -1

Bu demek oluyor ki ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemimizde X yerine -2 veya -1 yerleştirdiğimizde bu denklem sağlanıyor. Bunu şu şekilde gösterebiliriz. Önce denklemimizde X yerine -2 yerleştirelim.

X^2 + 3*X + 2 = 0   =>  (-2)^2 + 3*-2 + 2 = 0    =>    4 + (-6) + 2 = 0   =>   6 – 6 = 0

X1 = -2 kökü için denklem gerçekten de sağlanmış oldu. X2= -1 kökü için bu denemeyi yapalım.

X^2 + 3*X + 2 = 0   =>  (-1)^2 + 3*-1 + 2 = 0    =>    1 + (-3) + 2 = 0   =>   3 – 3 = 0

Gördüğünüz gibi formülle bulduğumuz köklerin ikisi de denklemimizi sağladı. Şimdi gelelim konu ile ilgili PHP programını yazmaya.

İkinci Dereceden Denklemin Köklerini Bulan Program

<?php

$A=1;$B=3;$C=2; // Burada katsayılarımızı belirledik.

$Delta=$B*$B – 4*$A*$C; // Burada Deltayı hesapladık.

if($Delta>0){ // Eğer Delta sıfırdan büyükse iki kökü hesapla.

echo “İki kök vardır<br>”;

$X1=(-$B-sqrt($Delta))/(2*$A);

$X2=(-$B+sqrt($Delta))/(2*$A);

echo “X1=$X1 – X2=$X2”;

}

if($Delta==0){ // Eğer Delta sıfıra eşitse tek kökü hesapla

echo “Tek kök vardır<br>”;

$X=(-$B)/(2*$A);

echo “X=$X”;

}

if($Delta<0){ // Eğer Delta sıfırdan küçükse gerçek kök yoktur mesajı görüntüle.

echo “Gerçek kök yoktur.”;

}

?>

İkinci Dereceden Denklemin Köklerini Bulan Program görüldüğü gibi çok da zor değilmiş. Önce katsayılar belirleniyor. Daha sonra bu katsayılara göre ∆ (delta) hesaplanıyor. Sonra da bir karar yapısına (if yapısı) bağlı olarak ∆ (delta)’nın sıfırdan büyük mü, eşit mi yoksa küçük mü olduğuna göre hesaplama yapılıyor. İşte bu kadar.

Eğer başka hesaplamalar için diğer PHP fonksiyonlarına ihtiyaç duyarsanız http://php.net/manual/en/ref.math.php adresinden faydalanabilirsiniz.

İkinci Dereceden Denklemin Köklerini Bulan Program yazısı ilk önce İNTERNET ALEMİ üzerinde ortaya çıktı.